Phó tế Giuse Cường được thụ phong linh mục ngày 27 tháng 6 năm 1992 tại Đại chủng viện Thánh Giuse Sài Gòn, với vị chủ phong là Tổng giám mục Tổng giáo phận Sài Gòn Phaolô Nguyễn Văn Bình.[7] Sau khi được truyền chức linh mục, Tân linh mục được bổ nhiệm làm linh mục phó giáo xứ Tân Thanh Đà Lạt.[12]

Sau đó, linh mục Giuse được bổ nhiệm làm linh mục phó giáo xứ Tân Bùi Đà Lạt từ ngày 30 tháng 4 năm 2001 trước khi đảm nhận vai trò chính xứ này vào ngày 27 tháng 6 năm 2005 và giữ chức vụ này đến năm 2014.[7][11] Vì có thời gian làm linh mục phó cho vị tiền nhiệm, ông đã am tường các công tác tổ chức và quản lý giáo xứ đông giáo dân nhất giáo phận Đà Lạt với con số trên 16.000 giáo dân.[13] Sau đó, ông được chuyển làm linh mục chính xứ Madagui và nhận chức vụ chính thức từ tháng 2 năm 2015,[12][14] kiêm linh mục Quản hạt Tiên khởi Giáo hạt Madagui, Giáo phận Đà Lạt.[11][15][16] Linh mục Giuse Cường đảm nhận vai trò thành viên Hội đồng Linh mục giáo phận Đà Lạt từ năm 2010 và thành viên Ban Tư vấn giáo phận Đà Lạt kể từ năm 2014.[11]

Ngoài các chức danh tại các giáo xứ, ông còn đảm nhận nhiều vai trò quan trọng khác như Trưởng Ban Giáo lý Đức tin Giáo phận Đà Lạt trong vòng từ năm 2002 đến năm 2017; Phó Trưởng Ban Giáo lý Giáo tỉnh Sài Gòn từ năm 2005 đến năm 2017,[11] trong đó bộ sách giáo lý giáo phận Đà Lạt được đánh giá cao;[13] Thành viên Ủy ban Giáo lý Đức tin thuộc Hội đồng Giám mục Việt Nam, từ năm 2009; Trưởng Ban Giáo lý Giáo tỉnh Sài Gòn, Phó Ban Giáo lý toàn quốc từ năm 2014 đến năm 2017; từ năm 2010 đến năm 2017, đảm nhiệm thêm vai trò Thẩm phán Tòa án Hôn phối Giáo phận Đà Lạt. Năm 2017, ông được bổ nhiệm làm Phó Giám đốc tại Đại chủng viện Minh Hòa Đà Lạt.[11]

Năm 2012 đến năm 2013, ông tu học tại Học viện Mục vụ Đông Á Manila, Philippines.[12] Ngày 6 và 7 tháng 9 năm 2016, ông là một trong ba thuyết trình viên được mời thuyết trình trong thời gian tĩnh tâm linh mục đoàn Tổng giáo phận Hà Nội.[17]